Dario Morello ha iniziato la sua carriera agonistica nel 2007 all'età di 14 anni, vincendo il suo primo Campionato Italiano l'anno successivo. Convocato in Nazionale, si conferma campione italiano nelle categorie Cadetti (2009) e Giovani (2010), partecipando anche ai Campionati Mondiali Giovanili di Baku. Nel 2012 ha esordito nella categoria Elite, vincendo il Guanto d'Oro e il Campionato Nazionale Italiano. Tra il 2013 e il 2015 ha ottenuto successi internazionali, tra cui una medaglia d'oro ai Campionati universitari di Milano.

Nel 2015 è diventato professionista, vincendo il Campionato italiano dei pesi welter nel 2017. Ha poi conquistato il titolo mondiale WBO (2019), la cintura internazionale UBO (2022) e il titolo europeo UBO (2022). Nel 2023 si è assicurato il prestigioso titolo WBC del Mediterraneo, difendendolo con successo nell'aprile 2024 contro Luca Chiancone. Più tardi, nello stesso anno, ha mantenuto la cintura sconfiggendo Felice Moncelli in un evento tutto esaurito all'Allianz Cloud di Milano.